Классическое и статистическое определение вероятности. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей

Ясно, что каждое событие обладает той или иной степенью возможности своего наступления (своей реализации). Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью события.

Вероятность события – есть численная мера степени объективной возможности наступления этого события.

Рассмотрим стохастический эксперимент и случайное событие А, наблюдаемое в этом эксперименте. Повторим этот эксперимент n раз и пусть m(A) – число экспериментов, в которых событие А произошло.

Отношение (1.1)

называется относительной частотой события А в проведенной серии экспериментов.

Легко убедиться в справедливости свойств:

если А и В несовместны (АВ= ), то ν(А+В) = ν(А) + ν(В) (1.2)

Относительная частота определяется только после проведения серии экспериментов и, вообще говоря, может меняться от серии к серии. Однако опыт показывает, что во многих случаях при увеличении числа опытов относительная частота приближается к некоторому числу. Этот факт устойчивости относительной частоты неоднократно проверялся и может считаться экспериментально установленным.

Пример 1.19. . Если бросить одну монету, никто не сможет предсказать, какой стороной она упадет кверху. Но если бросить две тонны монет, то каждый скажет, что примерно одна тонна упадет кверху гербом, то есть относительная частота выпадения герба примерно равна 0,5.

Если при увеличении числа опытов относительная частота события ν(А) стремится к некоторому фиксированному числу, то говорят, что событие А статистически устойчиво , а это число называют вероятностью события А.

Вероятностью события А называется некоторое фиксированное число Р(А), к которому стремится относительная частота ν(А) этого события при увеличении числа опытов, то есть,

Это определение называют статистическим определением вероятности .

Рассмотрим некий стохастический эксперимент и пусть пространство его элементарных событий состоит из конечного или бесконечного (но счетного) множества элементарных событий ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . предположим, что каждому элементарному событию ω i прописан некоторое число - р i , характеризующее степень возможности появления данного элементарного события и удовлетворяющее следующим свойствам:

Такое число p i называется вероятностью элементарного события ω i .

Пусть теперь А- случайное событие, наблюдаемое в этом опыте, и ему соответствует некоторое множество

В такой постановке вероятностью события А называют сумму вероятностей элементарных событий, благоприятствующих А (входящих в соответствующее множество А):

(1.4)

Введенная таким образом вероятность обладает теми же свойствами, что и относительная частота, а именно:

И если АВ= (А и В несовместны),

то P(А+В) = P(А) + P(В)

Действительно, согласно (1.4)

В последнем соотношении мы воспользовались тем, что ни одно элементарное событие не может благоприятствовать одновременно двум несовместным событиям.

Особо отметим, что теория вероятностей не указывает способов определения р i , их надо искать из соображений практического характера или получать из соответствующего статистического эксперимента.

В качестве примера рассмотрим классическую схему теории вероятностей. Для этого рассмотрим стохастический эксперимент, пространство элементарных событий которого состоит из конечного (n) числа элементов. Предположим дополнительно, что все эти элементарные события равновозможны, то есть вероятности элементарных событий равны p(ω i)=p i =p. Отсюда следует, что

Пример 1.20 . При бросании симметричной монеты выпадение герба и «решки» равновозможны, их вероятности равны 0,5.

Пример 1.21 . При бросании симметричного кубика все грани равновозможны, их вероятности равны 1/6.

Пусть теперь событию А благоприятствует m элементарных событий, их обычно называют исходами, благоприятствующими событию А . Тогда

Получили классическое определение вероятности : вероятность Р(А) события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов

Пример 1.22 . В урне лежит m белых шаров и n черных. Чему равна вероятность вытащить белый шар?

Решение . Всего элементарных событий m+n. Они все равновероятны. Благоприятствующих событию А из них m. Следовательно, .

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1 . Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы­тию. В этом случае т=п, следовательно,

P(A)=m/n=n/n=1. (1.6)

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае т = 0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы­тания. То есть, 0≤m≤n, значит, 0≤m/n≤1, следовательно, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A) ≤1. (1.8)

Сопоставляя определения вероятности (1.5) и относительной частоты (1.1), заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически . Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Однако, вычисление вероятности требует наличия предварительной информации о количестве или вероятностях благоприятствующих данному событию элементарных исходов. В случае отсутствия такой предварительной информации для определения вероятности прибегают к эмпирическим данным, то есть, по результатам стохастического эксперимента определяют относительную частоту события.

Пример 1.23 . Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей r (А) = 3/80.

Пример 1.24 . По цели.произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели. r (А) =19/24.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Подробнее и точнее связь между относительной частотой и вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство устойчивости на примерах.

Пример 1.25 . По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется сле­дующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Относительная частота колеблется около числа 0,481, которое можно принять за приближеннее значение вероятности рождения девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.

Пример 1.26. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появление «герба». Результаты нескольких опытов приведены в таблице.

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

• достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
• невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
• случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

• Равновозможными.
• Совместимыми.
• Несовместимыми.
• Противоположными (взаимоисключающими).
• Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

• Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
• Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
• Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
• Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
• Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
• Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
• Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

• A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
• B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
• C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

1. Бубновая.
2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

Все на свете происходит детерминировано или случайно…
Аристотель

Вероятность: основные правила

Теория вероятностей вычисляет вероятности различных событий. Основным в теории вероятностей является понятие случайного события.

Например, вы бросаете монету, она случайным образом падает на герб или решку. Заранее вы не знаете, на какую сторону монета упадет. Вы заключаете договор страхования, заранее вы не знаете, будут или нет проводиться выплаты.

В актуарных расчетах нужно уметь оценивать вероятность различных событий, поэтому теория вероятностей играет ключевую роль. Ни одна другая область математики не может оперировать с вероятностями событий.

Рассмотрим более подробно подбрасывание монеты. Имеется 2 взаимно исключающих исхода: выпадение герба или выпадение решки. Исход бросания является случайным, так как наблюдатель не может проанализировать и учесть все факторы, которые влияют на результат. Какова вероятность выпадения герба? Большинство ответит ½, но почему?

Пусть формально А обозначает выпадение герба. Пусть монета бросается n раз. Тогда вероятность события А можно определить как долю тех бросков, в результате которых выпадает герб:

где n общее количество бросков, n(A) число выпадений герба.

Отношение (1) называется частотой события А в длинной серии испытаний.

Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующая частота при больших n группируется около некоторой постоянной величины Р(А) . Эта величина называется вероятностью события А и обозначается буквой Р - сокращение от английского слова probability - вероятность .

Формально имеем:

(2)

Этот закон называется законом больших чисел.

Если монета правильная (симметричная), то вероятность выпадения герба равняется вероятности выпадения решки и равняется ½.

Пусть А и В некоторые события, например, произошел или нет страховой случай. Объединением двух событий называется событие, состоящее в выполнении события А , события В , или обоих событий вместе. Пересечением двух событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении как события А , так и события В .

Основные правила исчисления вероятностей событий следующие:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

2. Пусть А и В два события, тогда:

Читается так: вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность пересечения событий. Если события являются несовместными или непересекающимися, то вероятность объединения (суммы) двух событий равна сумме вероятностей. Этот закон называется законом сложения вероятностей .

Мы говорим, что события является достоверным, если его вероятность равна 1. При анализе тех или иных явлений возникает вопрос, как влияет наступление события В на наступление события А . Для этого вводится условная вероятность :

(4)

Читается так: вероятность наступления А при условии В равняется вероятности пересечения А и В , деленной на вероятность события В .
В формуле (4) предполагается, что вероятность события В больше нуля.

Формулу (4) можно записать также в виде:

(5)

Это формула умножения вероятностей.

Условную вероятность называют также апостериорной вероятностью события А - вероятность наступления А после наступления В .

В этом случае саму вероятность называют априорной вероятностью. Имеется еще несколько важных формул, которые интенсивно используются в актуарных расчетах.

Формула полной вероятности

Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимно исключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо. Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности :

(6)

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А .

Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

Рассмотрим следующую практическую задачу.

Задача 1

Предположим, произошла авиакатастрофа и эксперты заняты исследованием ее причин. Заранее известны 4 причины, по которым произошла катастрофа: либо причина, либо , либо , либо . По имеющейся статистике эти причины имеют следующие вероятности:

При осмотре места катастрофы найдены следы воспламенения горючего, согласно статистике вероятность этого события при тех или иных причинах такая:

Вопрос: какая причина катастрофы наиболее вероятна?

Вычислим вероятности причин при условия наступления события А .

Отсюда видно, что наиболее вероятной является первая причина, так как ее вероятность максимальна.

Задача 2

Рассмотрим посадку самолета на аэродром.

При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1 . Во втором случае - Р2 . Ясно, что P1>P2 .

Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р . Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3 , причем Р3<Р2 . Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .

Найти вероятность благополучной посадки самолета.

Нужно найти вероятность .

Имеются два взаимно исключающих варианта: приборы слепой посадки действуют, приборы слепой посадки отказали, поэтому имеем:

Отсюда по формуле полной вероятности:

Задача 3

Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года равна 0.01 Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0.05.

Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?

Варианты ответов: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36 %, (Г) 56%, (Д) 90%.

Решение

Введём события:

Условие задачи означает, что

Кроме того, поскольку события и образуют полную группу попарно несовместимых событий, то .
Интересующая нас вероятность - это .

Используя формулу Байеса, мы имеем:

поэтому верным является вариант (В ).

Задача 4

Страховая компания продаёт договора страхования жизни трёх категорий: стандартные, привилегированные и ультрапривилегированные.

50% всех застрахованных являются стандартными, 40% - привилегированными и 10% - ультрапривилегированными.

Вероятность смерти в течение года для стандартного застрахованного равна 0.010, для привилегированного - 0.005, а для ультра привилегированного - 0.001.

Чему равна вероятность того, что умерший застрахованный является ультрапривилегированным?

Решение

Введем в рассмотрение следующие события:

В терминах этих событий интересующая нас вероятность - это . По условию:

Поскольку события , , образуют полную группу попарно несовместимых событий, используя формулу Байеса мы имеем:

Случайные величины и их характеристики

Пусть некоторая случайная величина, например, ущерб от пожара или величина страховых выплат.
Случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения.

Определение. Функция называется функцией распределения случайной величины ξ .

Определение. Если существует такая функция , что для произвольных a выполнено

то говорят, что случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятности f(x) .

Определение. Пусть . Для непрерывной функции распределения F теоретической α-квантилью называется решение уравнения .

Такое решение может быть не единственным.

Квантиль уровня ½ называется теоретической медианой , квантили уровней ¼ и ¾ - нижней и верхней квартилями соответственно.

В актуарных приложениях важную роль играет неравенство Чебышева:

при любом

Символ математического ожидания.

Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .

Время жизни как случайная величина

Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни.

Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если мы имеем дело с большой однородной группой людей и не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.

Соответственно, мы можем говорить о продолжительности жизни как о случайной величине Т.

Функция выживания

В теории вероятностей описывают стохастическую природу любой случайной величины Т функцией распределения F (x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина Т меньше, чем число x :

.

В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительной жизни - это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет.

называется функцией выживания (survival function ):

Функция выживания обладает следующими свойствами:

В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age ) (как правило, лет) и соответственно при x >.

При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.

Функция выживания имеет простой статистический смысл.

Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.

Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:

.

Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.

Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).

Функция выживания может быть восстановлена по плотности:

Характеристики продолжительности жизни

С практической точки зрения важны следующие характеристики:

1 . Среднее время жизни

,
2 . Дисперсия времени жизни

,
где
,